[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
각 자릿수가 \(0\) 또는 \(1\)이고, 일의 자리를 제외한 각 자리에 나타나는 \(0\)의 개수의 합이 \(1\) 이하인 모든 자연수의 집합을 \(A\)라 하자. 또한 자연수 \(n\)에 대하여 집합 이라 하자. 예를 들어, \(11101110\), \(11111110\)은 집합 \(A_8\)의 원소이고 \(11111001\)은 집합 \(A_8\)의 원소가 아니다.
\(60\)보다 큰 자연수 \(r\)에 대하여, 집합 \(A\)의 원소를 작은 수부터 크기순으로 나열하여 첫 번째부터 \(r\)번째까지의 숫자를 크기와 모양이 같은 카드에 한 개씩 적어 상자에 넣었다. 이 상자에서 임의로 한 장의 그 카드에 적힌 숫자가 \(10^5\)보다 크고 \(10^9\)보다 작은 수일 확률이 \(\frac{4}{7}\)이다. 이 상자에서 임의로 한 장의 카드를 뽑아 그 카드에 적힌 숫자에 나타나는 \(0\)의 개수를 확률변수 \(X\)라 하자.

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
<가> 함수 \(f(x) = \frac{1}{x^2+1}\)과 \(-\frac{1}{\sqrt{3}} < t < \frac{1}{\sqrt{3}}\)인 실수 \(t\)에 대하여 점 \(A(t, f(t))\)가 있다. 점 \(A\)가 아닌 곡선 \(y=f(x)\) 위의 서로 다른 두 점 \(B, C\)에 대하여 점 \(B\)에서의 접선과 점 \(C\)에서의 접선이 모두 점 \(A\)를 지날 때, 직선 \(AB\), 직선 \(AC\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(g(t)\)라 하자.
<나> 자연수 \(n\)에 대하여 원 \(x^2+y^2 = 40n^4\)과 직선 \(y = -3x + 10n\)이 만나는 서로 다른 두 점을 \(P_n, Q_n\)이라 하자. 선분 \(P_n Q_n\) 위의 점 중 \(x\)좌표가 정수인 점의 개수를 \(T_n\)이라 하자.
<다> 수열 \(\{a_n\}\)은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^n a_k = T_n + 1\)을 만족시킨다.